ESERCIZIO N.13

TRASMISSIONE DI CARATTERI NON EQUIPROBABILI

(ESAMI DI STATO 1999/2000 PERITI IN ELETTRONICA E TELECOMUNICAZIONI)

 

 

Ad intervalli regolari di Tc = 1,6 msec un dispositivo di lettura segnala in modo indipendente le irregolarità presenti sulle due superfici di un nastro mentre viene arrotolato, associando un “1”  alla presenza, e uno “0” alla assenza d’irregolarità.

 

Le informazioni ottenute vengono trasmesse su un canale con rapporto segnale rumore S/N = 30 dB , adottando un codice a 4 livelli.

 

I valori di probabilità pi associati ai quattro eventi possibili (simboli) sono riportati nella seguente tabella.

simboli

pi

10

0,21

11

0,30

01

0,26

00

0,23

 

Il candidato, formulata ogni ipotesi aggiuntiva che ritiene opportuna, illustri le tematiche inerenti l’informazione e la sua misura quindi, con riferimento al caso proposto, determini:

 

1.     l’entropia della sorgente;

2.     la velocità media di trasmissione;

3.     la banda del canale secondo Shannon.

 

SOLUZIONE

 

Da quanto descrive il testo, si tratta di un doppio lettore ottico che rivela le impurità di un nastro che si arrotola, secondo uno schema che si può rappresentare, ad esempio,  come segue:

                                                                                    image004.jpg (15650 byte)

Vengono generate, quindi, due sequenze di “1” e di “0”, una dal lettore superiore ed una dal lettore inferiore, del tutto indipendentemente fra loro, ma che possono essere generate secondo una diversa probabilità di occorrenza dettata dalla tabella indicata dal testo.
Il testo richiede a questo punto di parlare dell’informazione e della sua misura, dopo, si potrà calcolare l’entropia della sorgente secondo la famosa formula:

                                                                                                   image006.gif (561 byte)        

 

Nel nostro caso, n = 4, rappresenta il numero delle combinazioni, le pi  rappresentano le probabilità indicate dal testo e relative ai quattro casi possibili di combinazioni di due bit “1” e “0” a due a due.

 

Sostituendo i numeri alle lettere si ha:

                                                                         image008.gif (1638 byte)

A questo punto, poiché le calcolatrici scientifiche non effettuano il logaritmo in base 2 ma quello decimale, cioè in base 10, oppure quello naturale, cioè in base e, bisogna ricorrere, per il calcolo di questa formula, ad una delle proprietà dei logaritmi che consente di passare, ad esempio, dal logaritmo in base 2,  al logaritmo in base 10:

                                                                                                                   image010.gif (634 byte)

Nel nostro caso diventa:

                                                                                               image012.gif (1386 byte)

Applicando questa formula al nostro caso otteniamo:

                                                                     image014.gif (1822 byte)

                                                                          image016.gif (1656 byte)

                                                                          image018.gif (1549 byte)

                                                                                          

Precisiamo che questa è un’informazione media statistica, collegata all’arrivo a destinazione di un singolo simbolo, cioè una coppia di bit generati dal doppio lettore ottico.

Non è da pensare dunque che siccome arriva un simbolo costituito da due bit, l’informazione che arriva sia eguale a due bit, perché le combinazioni di bit non sono equiprobabili e quindi l’informazione che portano è inferiore a due bit.

Ogni simbolo che arriva, dunque, comporta un’informazione media statistica di:

H = 1,985 bit

E poiché arriva un simbolo, cioè una coppia di bit, ogni:

Tc = 1,6 msec

 

La velocità media di trasmissione dell’informazione risulta:

 

                                                                                    image020.gif (1361 byte)

 

Altra maniera per ottenere lo stesso risultato è la seguente.

La velocità di trasmissione dei simboli, nota anche come velocità di modulazione è:

                                                                                         image022.gif (905 byte)

e si collega con la velocità di trasmissione dell’informazione nel caso di simboli non equiprobabili, tramite la formula:

 

                                                                                                        image024.gif (287 byte)

Sostituendo i valori già calcolati si ottiene:

 

                                                                               image026.gif (1002 byte)

Volendo adesso calcolare la banda secondo Shannon, cioè la minima larghezza di banda necessaria al canale perché, con rapporto segnale disturbo dato, possa  passare questa informazione, si deve utilizzare la formula detta della capacità di canale:

 

                                                                                                    image028.gif (793 byte)

In questa formula, il rapporto segnale disturbo S/N è presente in forma normale, mentre il testo lo da in decibel, per cui è necessario trovarlo in forma normale:

                                                                                                      image030.gif (819 byte)

Dividendo per 10 il primo ed il secondo membro, si ottiene:

                                                                                                               image032.gif (694 byte)

                                                                                                                  image034.gif (475 byte)

Passando dai logaritmi ai numeri:

                                                                                                                  image036.gif (532 byte)

Sostituendo questo valore di  S/N nella formula della capacità di canale, e ricordando che il valore di C, cioè della capacità del canale, corrisponde alla velocità di trasmissione dell’informazione, che è già nota, si ottiene:

                                                                                                      image038.gif (746 byte)

da cui:

                                                                   image040.gif (1443 byte)

da cui:

                                                                                                              image042.gif (745 byte)

 

                                                                             FINE